$x+1=0$의 해를 어떻게 구할 수 있을까요?
이항하면 $x=-1$이므로 해를 쉽게 구할 수 있습니다.
마찬가지로 $x^2-1=0$의 경우에도 근의 공식을 이용하면 해를 쉽게 구할 수 있습니다.
하지만 3차방정식부터는 근의 공식이 어렵습니다.
심지어 5차 방정식의 근의 공식이 존재하지 않는다는 것은 아벨에 의해 증명되었습니다.
그렇다면 5차 방정식 이상의 근을 어떻게 구할 수 있을까요?
그래서 오늘은 근사해를 구하는 방법 중 뉴턴 랩슨법(Newton-Raphson Method)에 대해 알아보고자 합니다.
1) 정의
뉴턴 랩슨법(Newton-Raphson Method)이란 초기값 $x=a$에서의 함수 $f(x)$의 접선과 $x$축의 접점의 $x$ 좌표를 구한 후, 구한 $x$좌표에서의 함수 $f(x)$의 접선과 $x$축의 접접의 $x$좌표를 구하는 것을 반복하여 함수 $f(x)$의 근사해를 구하는 방법입니다.
2) 적용 예시
$f(x)=x^{2}-1$의 근 1을 구하는 과정을 뉴턴-랩슨법을 통해 알아보도록 하겠습니다.
먼저 뉴턴-랩슨법을 이용하려면 초기값이 필요합니다.
초기값을 $A_{1}=3$으로 설정한 후 초기값에서 함수 $f(x)$의 접선을 그리면 다음과 같습니다.
(초기값을 3으로 설정한 이유는 볼차노의 정리에 의해 0과 4 사이에서 최소 1개의 근을 갖기 때문입니다. 이해를 돕기 위해 초기값을 정수로 설정하였습니다.)
접선과 $x$축의 교점인 $B$는 초깃값 $3$보다 $f(x)=x^{2}-1$의 근 $1$에 더 가까운 것을 알 수 있습니다.
$B$의 $x$좌표는 $1.\dot{6}$이므로 마찬가지로 $A_{2}=$1.$\dot{6}$에서 $f(x)$의 접선을 그리면 다음과 같습니다.
이전과 마찬가지로 접선과 $x$축의 교점인 $C$는 아전값 $B$보다 $y=x^{2}-1$의 근 $1$에 더 가까운 것을 알 수 있습니다.
위의 과정을 반복하면 $f(x)=x^{2}-1$의 근사해를 구할 수 있습니다.
3) 장단점
장점
- 다른 해를 구하는 알고리즘에 비해 빠르다.
- 초기값을 쉬운 값으로 설정할 수 있다.
단점
- 함수가 미분이 가능해야 한다.
- 초기값에 따라 수렴하지 않거나 수렴이 매우 느려질 수 있다.
이 중에서 수렴하지 않는 경우에 대해서 알아보겠습니다.
$f(x)=x^{2}-1$에서 초기값을 $0$으로 설정한 경우입니다. 이 경우 $f'(x)$가 0이 되어 $x$축과의 교점이 생기지 않기 때문에 수렴하지 않아 근사해를 구할 수 없습니다.
4) 점화식
초기값을 $A_{1}$이라 두면 초기값에서 함수 $f(x)$의 접선의 방정식은 $y=f'(A_{1})(x-A_{1})+f(A_{1})$이 됩니다.
다음 값 $A_{2}$는 접선과 $x$축과의 접점의 $x$좌표이므로 $0=f'(A_{1})(A_{2}-A_{1})+f(A_{1})$가 됩니다.
이를 정리하면 $$0=f'(A_{1}) {\cdot} A_{2}-f'(A_{1}){\cdot}A_{1}+f(A_{1})$$ $$f'(A_{1}){\cdot}A _{2}=f'(A_{1}){\cdot}A _{1}-f(A_{1})$$ $$A_{2}=A_{1}-\frac{f(A_{1})}{f'(A_{1})}$$
따라서 뉴턴-랩슨법의 점화식은
$$A_{n+1}=A_{n}-\frac{f(A_{n})}{f'(A_{n})}$$
뉴턴-랩슨법 외에도 근사 해를 구하는 방법에는 여러가지가 있습니다.
다음 수치해석 포스팅에서는 이분법으로 찾아오겠습니다.
궁금한 점은 댓글에 남겨주세요. 제가 아는 범위 내에서 답해드리겠습니다.
이 포스팅을 읽어주셔서 감사합니다!
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